Ar žinojote, kad egzistuoja daugiau nei viena begalybė? Ši matematikos idėja suglumino net mokslininkus

Apie begalybę dažnai kalbame lengva ranka: begalybė žvaigždžių, begalybė galimybių ar begalybė smėlio grūdelių. Tačiau matematikoje begalybė yra ne metafora, o labai tiksliai apibrėžta sąvoka. Dar daugiau – ji slepia vieną didžiausių žmonijos mąstymo perversmų: paaiškėjo, kad begalybė gali būti skirtingo dydžio.

Šią idėją XIX amžiaus pabaigoje išplėtojo vokiečių matematikas Georgas Cantoras. Jo darbai sukrėtė matematikų bendruomenę, bet galiausiai tapo moderniosios matematikos pamatu.

Kas yra „toks pat dydis“?

Norint suprasti skirtingas begalybes, pirmiausia reikia susitarti, ką reiškia, kad du rinkiniai yra vienodo dydžio. Kasdienybėje paprastai skaičiuojame: penki pirštai vienoje rankoje, penki – kitoje. Tačiau esminis dalykas čia nėra pats skaičius, o galimybė susieti elementus poromis.

Jei kiekvienam dešinės rankos pirštui galime priskirti tik vieną kairės rankos pirštą, ir atvirkščiai, sakome, kad rinkinių dydžiai sutampa. Tokia vienas su vienu atitiktis leidžia lyginti ir tada, kai nieko tiksliai nesuskaičiuojame, pavyzdžiui, pilnoje salėje žinome, kad žmonių tiek pat, kiek kėdžių, jei nėra nei stovinčių, nei tuščių vietų.

Ši paprasta idėja – ne skaičiavimas, o atitikčių sudarymas – tampa įrankiu, kai pereiname į begalinių rinkinių pasaulį.

Natūralūs ir lyginiai skaičiai

Iš pirmo žvilgsnio atrodo akivaizdu: visų natūralių skaičių yra daugiau nei lyginių. Juk lyginiai sudaro tik dalį visų skaičių, kita dalis – nelyginiai – tarsi „lieka už borto“.

Tačiau Cantoro idėja rodo ką kita. Galime išrikiuoti visus natūralius skaičius eilėje ir po kiekvienu parašyti jo dvigubą reikšmę. 1 atitinka 2, 2 – 4, 3 – 6 ir taip toliau. Kiekvienam natūraliam skaičiui tenka tik vienas lyginis ir joks lyginis nelieka be poros.

Vadinasi, tarp natūralių ir lyginių skaičių egzistuoja vienas su vienu atitiktis. Matematiškai tai reiškia, kad šie du rinkiniai yra vienodo dydžio, nors vienas akivaizdžiai yra kito dalis. Čia ir pradeda skilti mūsų kasdienis supratimas apie „daugiau“ ir „mažiau“.

Ar trupmenų daugiau?

Kitas netikėtumas laukia pažvelgus į trupmenas, arba racionaliuosius skaičius. Atrodo natūralu manyti, kad jų turėtų būti daugiau, nei natūralių skaičių: tarp bet kurių dviejų sveikųjų skaičių galime rasti begalę skirtingų trupmenų.

Cantoras parodė, kad ir šiuo atveju intuicija mus apgauna. Jis pasiūlė visus įsivaizduojamus trupmenis išdėstyti begaliniame tinklelyje: eilutės – skaitikliai, stulpeliai – vardikliai. Tada šį tinklelio taškų jūrą jis pradėjo „šluoti“ įstrižai, sistemingai pereidamas per kiekvieną langelį ir praleisdamas tik tas trupmenas, kurios sutampa su jau buvusiomis (pavyzdžiui, 2/2 ir 1/1).

Taip susidaro viena begalinė seka, kurioje kiekviena trupmena turi savo vietą. Kitaip tariant, vėl randama vienas su vienu atitiktis tarp natūralių skaičių ir visų trupmenų rinkinio. Todėl trupmenų begalybė nėra „didesnė“ už natūralių skaičių begalybę – jos vienodo dydžio.

Neracionalieji ir didesnė begalybė

Pagrindinis lūžis įvyksta, kai pereiname prie realiųjų skaičių – visų taškų ant skaičių tiesės, įskaitant ir neracionaliuosius. Tai tokie skaičiai, kurių neįmanoma išreikšti trupmena, pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš dviejų ar skaičius pi.

Neracionaliųjų skaičių dešimtainiai pavidalai yra begaliniai ir nesikartojantys. Cantoras pateikė garsųjį vadinamąjį diagonalinį argumentą: net jei kas nors bandytų sudaryti sąrašą visų realiųjų skaičių, visada galima būtų „sukurti“ naują skaičių, kuris nuo kiekvieno sąraše esančio skiriasi bent vienu skaitmeniu.

Toks skaičius tikrai nepatektų į pradinį sąrašą, vadinasi, jokio pilno sąrašo realiesiems sudaryti neįmanoma. Tai reiškia, kad tarp realiųjų skaičių ir natūralių skaičių nebegalime rasti vienas su vienu atitikties. Realieji sudaro „didesnę“ begalybę nei natūralieji ar trupmenos.

Gražus palyginimas sako: trupmenos yra tarsi žvaigždės nakties danguje, o neracionalieji – juoda erdvė tarp jų. Mes matome tik žvaigždes, bet didžioji dangaus dalis – tamsa.

Begalinė begalybių laiptinė

Cantoras nuėjo dar toliau. Jis parodė, kad iš bet kurio begalinio rinkinio galime sudaryti naują rinkinį iš visų jo posrinkinių, ir šis naujasis rinkinys bus dar didesnės begalybės. Šį veiksmą galima kartoti be galo, gaunant vis naujus, vis didesnius begalybės „lygius“.

Taip atsiskleidžia stulbinantis vaizdas: ne tik egzistuoja daugiau nei viena begalybė, bet ir pačių begalybių skaičius yra begalinis. Ši mintis daugeliui Cantoro amžininkų buvo tokia nepriimtina, kad jie bandė visais būdais ją apeiti.

Pats Cantoras dėl patirto spaudimo ir asmeninių išgyvenimų daug metų praleido psichiatrijos ligoninėse. Vis dėlto laikui bėgant jo teorija buvo priimta ir dabar laikoma fundamentaliu šiuolaikinės matematikos ramsčiu.

Neatsakomi klausimai matematikoje

Kai Cantoras suvokė, kad realiųjų skaičių begalybė yra didesnė už natūraliųjų, jis iškėlė naują klausimą: ar egzistuoja tarpinė begalybė, „mažesnė“ už realiųjų, bet „didesnė“ už natūraliųjų? Šis spėjimas pavadintas kontinuumo hipoteze.

XX amžiaus pradžioje jis buvo laikomas vienu svarbiausių neišspręstų uždavinių. Tačiau XX amžiaus viduryje įvyko netikėtas lūžis. Kurtas Gӧdelis parodė, kad remiantis įprastais matematikos pagrindais kontinuumo hipotezės neįmanoma paneigti. Vėliau Paulas Cohenas įrodė, kad jos neįmanoma ir įrodyti.

Šie du rezultatai kartu reiškia stulbinamą išvadą: yra matematikos klausimų, į kuriuos iš principo negalime atsakyti naudodamiesi priimtomis taisyklėmis ir aksiomomis. Matematika, kuri ilgai buvo laikyta tobulos logikos pavyzdžiu, pasirodo turinti neišvengiamų ribų.

Vis dėlto šios ribos nesumažina, o veikiau pabrėžia matematikos grožį. Idėja, kad egzistuoja skirtingos begalybės ir net neatsakomi klausimai apie jas, atskleidžia, kokia gili ir kartu keista yra skaičių karalystė. Tai priminimas, jog net ten, kur viskas atrodo griežta ir aišku, lieka erdvės nuostabai.